Source : Lestat (Jan Mehlich)

L’autre jour, en quittant la salle de reprographie de la Fac, j’ai eu droit à une petite remontrance. Une personne m’indique qu’il est agaçant pour elle de devoir se lever à chaque fois que je passe, puisqu’elle doit rallumer les lumières (cette personne travaille dans le bureau à côté). Je trouve la remarque étrange, ayant toujours été convaincu qu’il était normal d’éteindre l’interrupteur lorsque l’on quitte une pièce.

Et puis en discutant avec Pascaline (@pascaline20100), elle m’apprend que ce n’est pas forcément bon d’éteindre les lumières, d’un point de vue économique… Une recherche sur Google pointe très rapidement vers un document de l’Institut bruxellois pour la gestion de l’environnement qui précise que pour des néons, il faudrait une absence de plus de \(20\) minutes pour éteindre.

On va se placer dans un cadre très simpliste, mais qui je l’espère, permet d’avoir une petite idée pas trop fausse de la réalité. Considérons que la journée de travaille commence à 8h et se termine à 20h. Ainsi, la journée dure \(12 \times 60 = 720\) minutes. Admettons qu’il y ait \(n\) utilisateurs dans cet intervalle de \(720\) minutes. On émet une hypothèse très forte (et pas très réaliste) que les utilisateurs se rendent à la reprographie à n’importe quelle heure de la journée. On n’observe pas de pics de fréquentation (comme le matin ou le soir). Admettons que le nombre moyen d’événements par unité de temps (minute) vaut \(\frac{n}{720}\).

Si \(X\) est la variable aléatoire qui indique le nombre d’événements intervenant dans un intervalle de temps de \(20\) minutes, alors on peut la modéliser par une loi de Poisson : \[X \sim \mathcal{Pois}(\lambda t),\] avec \(\lambda = \frac{n}{720}\) et \(t=20\).

La fonction de masse est donnée par : \[\mathbb{P}(X=k) = (\lambda t)^k \frac{e^{- \lambda t}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots.\]

Ainsi, la probabilité que dans l’intervalle de temps \([0,20]\), aucune personne ne vienne vaut \[\mathbb{P}(X=0) = e^{-\frac{2n}{720}}.\]
Cette probabilité est la même pour tous les intervalles de temps de \(20\) minutes, puisque dans le cas de la loi de Poisson, l’occurrence d’un événement durant une période donnée est indépendante de l’occurrence d’un autre événement dans une autre période.

Une petite fonction avec R permet de voir comment se comporte cette probabilité en fonction du nombre d’utilisateurs.

probaPersonne <- function(n){
  # Nombre moyen d'evenements pdt 20 min
  lambda <- n/720
  return(dpois(0, lambda = lambda*20))
}
lesProbasPersonne <- sapply(1:200, probaPersonne)

On voit graphiquement que dès que plus de 25 personnes fréquentent la salle de repro, la probabilité de ne trouver personne dedans pendant \(20\) minutes est inférieure à \(0.5\)...
Probabilité de ne trouver personne dans un laps de temps de 20 minnutes

Si on considère à présent que chaque utilisateur passe exactement \(2\) minutes pour faire ses impressions, on peut s'intéresser à la variable aléatoire \(Y\) qui donne le nombre moyen d'événements intervenant dans un intervalle de temps de \(2\) minutes. On a \[Y \sim \mathcal{Pois}\left(2 \times \frac{n}{720}\right).\]

Avec 100 personnes utilisant le copieur (ce qui correspond, je crois, au nombre d'enseignants de la Fac), on a une probabilité de ne trouver personne pendant chaque intervalle de \(2\) minutes valant \[\mathbb{P}(Y = 0) = e^{\frac{100}{720}\times 2} = e^{\frac{5}{18}} = 545.3749.\]
Ainsi, en moyenne, le nombre de minutes pour lesquelles la lumière est éteinte dans la journée (dans le cas où tout le monde allume et éteint l'interrupteur sur son passage) vaut :

> lambda <- 100/720
> dpois(0, lambda = lambda*2)*720
[1] 545.3749

On peut retrouver empiriquement ce résultat :

> nombreMinutesAl <- function(n){
+   # Les minutes de la journee durant 12h
+   journee <- seq(0,12*60-2)
+   
+   # La minute du passage de chaque individu
+   minutePassage <- sample(journee, size = n, replace = T)
+ 
+   minutePassage <- minutePassage[order(minutePassage)]
+   minutePassageIntervalle <- lapply(minutePassage, function(x) seq(x, x+1))
+   
+   minutesEteint <- seq(0,12*60)
+   for(i in 1:length(minutePassageIntervalle)){
+     minutesEteint <- setdiff(minutesEteint,minutePassageIntervalle[[i]])
+   }
+   
+   # Les minutes ou la lumiere est allumee
+   minutesAllum <- journee[-(minutesEteint+1)]
+   
+   return(length(minutesAllum))
+ }
> library(snow)
> cl <- makeCluster(7,type="SOCK")
> clusterExport(cl,c("nombreMinutesAl"))
> nombreMinutesAlRepl <- parLapply(cl, 1:10000, function(x) nombreMinutesAl(100))
> stopCluster(cl)
> mean(unlist(nombreMinutesAlRepl))
[1] 174.7306
> 720-mean(unlist(nombreMinutesAlRepl))
[1] 545.2694

Du coup, je ne sais plus trop si je fais bien ou pas d'éteindre la lumière en quittant la pièce. Par peur de me faire houspiller, je crois que je vais les laisser allumées... 🙂

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