2.1 Prédiction des scores - modèles de comptage

Moroney (1956) and Reep, Pollard, & Benjamin (1971) utilisent les distributions Poisson et Binomiale Négtive pour modéliser la distribution du nombre total de buts marqués au cours d’un match. Maher (1982) développe quant à lui un modèle dans lequel les scores des deux équipes suivent des processus de Poisson indépendants. Le modèle intègre des mesures des capacités de défense et d’attaque des deux équipes. Dans un deuxième temps, afin de corriger la tendance à sous-estimer le nombre de buts l’auteur utilise un modèle Poisson bivarié afin de tenir compte de l’interdépendance des scores des deux équipes. La sous-estimation des nombres de buts se retrouve particulièrement dans la littérature lorsqu’il s’agit de matchs nuls. M. J. Dixon & Coles (1997) proposent une méthodologie pour y remédier. Ils modélisent les scores au moyen de lois de Poisson indépendantes, mais, pour les matchs présentant de faibles scores, les auteurs ajustent les probabilités de façon ad hoc de façon à augmenter les probabilités de matchs nuls (0–0 et 1–1). Les auteurs introduisent également une fonction de pondération pour diminuer la contribution des matchs les plus anciens.

Des modèles de Poisson bivariés améliorés peuvent permettre d’augmenter les probabilités d’obtenir des matchs nuls, c’est notamment l’objet des modèles Poisson bivariés «diagonal inflated», utilisés par Karlis & Ntzoufras (2003).

L’aspect temporel est pris en compte par certaines études, soit en s’intéressant à l’évolution des scores dans une même rencontre, soit en se penchant sur la dynamique des scores de rencontres en rencontres. Ainsi, M. Dixon & Robinson (1998) s’intéressent à la dynamique du score au sein d’un match. Le taux de buts marqués change avec le score, le temps qu’il reste à jouer et l’équipe qui mène (si une des deux équipes mène). Koopman & Lit (2015) utilisent un Poisson bivarié dynamique afin de permettre aux coefficients d’évoluer dans le temps. Enfin, Angelini & Angelis (2017b) proposent un modèle Poisson autoregressif afin de prendre en compte les résultats des derniers matchs et améliorer l’estimation.

2.2 Prédiction des résultats

Une branche de la littérature utilise des modèles de choix discrets (probit ordonné) pour modéliser directement les résultats des matchs sans passer par l’estimation des scores. Cette approche a l’avantage de ne pas être impactée par le problème de l’interdépendance des scores.

Goddard & Asimakopoulos (2004) utilisent un modèle probit ordonné. Le résultat du match entre les équipes \(i\) et \(j\) noté \(y_{ij}\) peut prendre trois valeurs: 0 si l’équipe à l’extérieur gagne, \(\frac{1}{2}\) s’il y a match nul, \(1\) si l’équipe à domicile gagne. L’approche a été utilisée dans plusieurs autres études (Kuypers_2000; Audas, Dobson, & Goddard, 2002 ; Forrest & Simmons, 2000 ; Graham & Stott, 2008 ; Koning, 2000).

Récemment, la littérature s’est penchée sur des méthodes d’apprentissage statistique pour prédire les issues des rencontres. Constantinou, Fenton, & Neil (2013) développent un réseau de neurones bayésien (Bayesian Neural Networks) pour prédire les résultats de matchs. Odachowski & Grekow (2013) prédisent les résultats de matchs à partir des évolutions (dans le temps) des cotes. Les auteurs testent un ensemble d’algorithmes de classification (BayesNet, VotedPerception, Ibk, Bagging, Decision Table, LADTree…). Les auteurs font de la classification sur des résultats binaires (victoire de l’équipe à domicile contre nul ou victoire de l’équipe à l’extérieur; victoire équipe à domicile contre victoire équipe à l’extérieur) et obtiennent une qualité de prédiction de 70%. Tax & Joustra (2015) combinent une analyse en composantes principales (ACP) avec des méthodes de classification “Naive Bayes” et “Multilayer Perceptron”. La qualité de prédiction obtenue est de 54,7%.

Godin, Zuallaert, Vandersmissen, De Neve, & Van de Walle (2014) utilisent des posts twitter et les combinent à de l’information statistique pour améliorer les prédictions de leur modèle.

2.3 Efficience des marchés de paris sportifs

Par analogie avec la littérature sur les marchés financiers, la littérature définit une forme faible de l’hypothèse d’efficience des marchés de paris. Si le modèle de prévision produit de l’information sur les probabilités de résultat d’un match qui n’est pas déjà reflétée dans les cotes établies par les bookmakers, alors les cotes échouent à satisfaire le critère standard d’efficience de forme faible: toute l’information historique pertinente pour l’évaluation des probabilités de résultat d’un match devrait être reflétée dans les cotes établies (Goddard & Asimakopoulos, 2004).

Pankoff (1968) est le premier à mettre en place un test d’efficience des marchés de paris. Le test consiste à régresser les résultats des matchs (mesurés par la différence de buts marqués) sur les cotes des bookmakers. Pope & Peel (1989) testent l’hypothèse d’efficience faible des marchés de paris sur le football anglais, en régressant les résultats des matchs sur les probabilités implicites (calculés à partir des cotes définies par les bookmakers). Leurs résultats semblent indiquer que l’hypothèse d’efficience n’est pas toujours vérifiée.

Une autre approche pour tester l’hypothèse d’efficience des marchés consiste à générer des prédictions pour obtenir des probabilités associées à chaque résultat, et identifier les meilleures opportunités de paris (M. J. Dixon & Coles, 1997 ; Goddard & Asimakopoulos, 2004 ; Koopman & Lit, 2015 ; Rue & Salvesen, 2000). Les résultats de ces études suggèrent des formes d’inefficiences faibles.

Spann & Skiera (2009) montrent qu’une qualité de prédiction de 53.98% peut être suffisante pour mettre en place une stratégie de paris profitable. Angelini & Angelis (2017a) étudient l’efficience des marchés sur un ensemble de 11 championnats européens, et trouvent que 4 championnats apparaissent inefficients, suggérant la possibilité de paris rentables.

3.1 Rencontres internationales

La Fédération Internationale de Football Association (FIFA) communique les résultats, mois par mois, des rencontres passées⁴. Pour chaque rencontre, les informations suivantes sont disponibles : le lieu, la date, les équipes qui s’affrontent, le type de match (amical, coupes diverses) et le résultat final.

Nous récupérons les données des rencontres masculines allant d’août 1993 à avril 2018, c’est-à-dire juste avant la coupe du Monde 2018 en Russie. Bien que les données des rencontres amicales soient proposées par la FIFA, seules celles de compétitions (phases de qualifications et phases finales) entre les nations composent l’échantillon utilisé dans cette étude. En effet, les enjeux lors des matchs amicaux ne sont pas les mêmes que lors de tournois entre les nations. Les informations des rencontres amicales servent uniquement lors du calcul de la forme d’une équipe (présentée plus loin). L’échantillon concerne 205 équipes et contient 11584 rencontres uniques, dont 6479 provenant de compétitions intercontinentales et 5105 issues des coupes mondiales (Coupes du Monde, Coupes des Confédérations). La Figure 1 montre la répartition du nombre de matchs par année, pour les coupes intercontinentales et pour les coupes mondiales.

Figure 1. Nombre de rencontres par année par type de compétition.

3.2 Caractéristiques des équipes

Chaque observation correspond à une rencontre entre deux équipes. Les informations propres à chacune de ces rencontres concernent les résultats, le classement des équipes ainsi que leur forme.

3.3 Marchés sportifs

La mise en confrontation des estimations réalisées par les différents modèles qui sont présentés dans la section suivante avec celles des sites de paris sportifs est un moyen de repérer les matchs pour lesquels un gain financier est possible. Pour cela, il faut récupérer les cotes des rencontres pour lesquelles l’on désire effectuer des pronostics. À l’aide de techniques de scraping, les cotes pour les rencontres de phases de groupes de la Coupe du Monde 2018 en Russie ont été récupérées pour le site Betclic, le 11 mai 2018.

4.1 Deux modèles simples

Deux premiers modèles de classification sont estimés.

4.2 Arbres de classification

Les arbres d’analyse et de régression (aussi appelés arbres de décision, dont l’acronyme est CART) sont des régressions dont les prédicteurs sont des variables indicatrices. Les résultats sont présentés sous forme de structures en forme d’arbres. Durant l’estimation, les prédicteurs sont transformés en variables indicatrices puis sont sélectionnés petit à petit. Les variables continues sont transformées en indicatrices. Par exemple, ici, la variable de forme offensive de l’équipe (qui est, rappelons-le, un comptage du nombre moyen de buts inscrits lors des trois dernières rencontres) est transformée en une multitude de variables possibles : 0 but contre 1 ou plus ; 1 but contre 0, 2 ou plus, moins de 2 buts contre plus de 2 buts, etc. Les variables catégorielles sont pour leur part regroupées. Par exemple, pour la variable indiquant le continent de l’équipe, une liste (non exhaustive) de regroupement serait la suivante : Europe contre le reste, Afrique contre le reste, Afrique et Europe contre le reste, etc. Une fois que chaque variable soumise pour l’estimation a été transformée en ces multitudes de regroupements, le problème est double : (\(i\)) choisir, pour chaque variable, quel est le meilleur regroupement à effectuer pour discriminer au mieux les données (au regard d’un critère particulier), et (\(ii\)) choisir, parmi les variables disponibles, celles qui discrimine le mieux les données. Une fois la variable et son découpage sélectionnés, il résulte deux sous parties dans les données, deux branches, donnant lieu à deux noeuds. Dans chacune de ces branches, une nouvelle étape de sélection de variables munie de son découpage/regroupement est effectuée de manière séparée, pour découper à nouveau en deux les sous-échantillons. Cette étape itérative se poursuit pour chaque branche, tant qu’un nouveau découpage est jugé pertinent au regard du critère. Chaque noeud terminal indique les proportions d’observations (c.-à-d. de matchs) appartenant à chacune des classes (c.-à-d. les issues de rencontres). L’assignation d’une classe à match ayant les caractéristiques conduisant à l’appartenance à un noeud spécifique est alors déterminée en fonction des fréquences de classes observées dans ce noeud : si une majorité de matchs nuls est observée dans le noeud, alors il sera prédit un match nul pour la rencontre appartenant à ce noeud.

4.3 Boosting

Le boosting est une technique fondée sur l’agrégation d’un ensemble de modèles estimés de manière itérative, apprenant des erreurs commises à chaque itération. Il s’agit d’accorder des poids plus importants aux observations ayant été mal prédites par le modèle lors de l’itération précédente pour construire la nouvelle estimation. Contrairement au bagging, les prévisions ne sont pas faites de manière indépendante, mais séquentielles.

4.4 Support Vector Machine

Les Support Vector Machines (SVM) (ou Machines à vecteurs de support) sont des modèles d’apprentissage supervisés utilisés pour effectuer des régressions ou des classifications. L’idée des SVM est de trouver un hyperplan optimal permettant de catégoriser les observations (en dimension deux, il s’agit de trouver une droite séparant le plan en deux). Deux cas sont distingués : celui dans lequel il est possible d’effectuer une séparation linéaire, et celui dans lequel il est nécessaire d’avoir recours au préalable à une transformation des données dans un nouvel espace, à l’aide d’une fonction noyau. En règle général, il existe plusieurs hyperplans pouvant séparer les données. L’algorithme se charge de trouver une solution optimale, qui maximise la marge ; la marge étant la distance séparant les points proches de la zone de décision de cette dernière (l’hypersurface permettant de séparer l’espace vectoriel en deux).

4.5 Réseaux de neurones

Les Artifical Neural Networks (ou réseaux de neurones artificiels) sont inspirés de la manière dont l’information est transmise dans le système nerveux en neurosciences. Le principe est de combiner de manière non linéaire des entrées pour obtenir des sorties. L’objet de l’estimation porte sur l’apprentissage de la fonction permettant de combiner les entrées pour obtenir les bonnes sorties. Les réseaux de neurones contiennent une succession de couches que l’on peut décomposer en trois parties : (\(i\)) une couche d’entrée, (\(ii\)) des couches intermédiaires cachées, et (\(iii)\) une couche de sortie. Les sorties d’une couche sont utilisées dans la suivante comme entrée, après avoir été combinées (des poids sont attribués à chaque valeur et un biais est ajouté) puis soumises à une fonction d’activation. Cette fonction d’activation, qui tente de mimer le fonctionnement du cerveau (le neurone doit-il être activé ou non ?) peut prendre différentes formes. Par exemple, il peut s’agir d’une fonction seuil. Dans ce cas, si la valeur après obtenue après combinaison est en dessous d’un seuil, la sortie est nulle (le neurone n’est pas activé) ; sinon, elle vaut 1 (le neurone est activé). Il existe d’autres fonctions d’activations, qui ne retournent pas des valeurs binaires, mais des sorties comprises entre 0 et 1, comme la fonction sigmoïde par exemple.

5.1 Création d’échantillons

Pour éviter des effets de surapprentissage, c’est-à-dire d’avoir des modèles surajustés, qui correspondent trop aux données ayant servi à l’estimation, mais donnant de piètres performances avec de nouvelles données, une approche par validation croisée a été adoptée.

Dans une première étape, nous divisons l’échantillon en deux parties ; l’une contient 80% des données, l’autre, appelé «échantillon de validation», les 20% restants.

5.2 Estimations sur l’échantillon de test

La première partie va servir à estimer les modèles et à choisir les variables et paramètres permettant d’obtenir les meilleures prévisions au sein de cet échantillon comprenant les 80% d’observations. Cette étape de tuning (ou d’ajustement des paramètres) est réalisée de la manière suivante. Pour des valeurs données de paramètres, un modèle est estimé par validation croisée de type k-fold. Plus précisément, sur l’échantillon contenant 80% des observations, un découpage en \(k=10\) sous-échantillons de taille à peu près identiques est réalisé. Un premier sous-échantillon est mis de côté (l’échantillon de test) tandis que les 9 restants (échantillons d’apprentissage) servent à estimer le modèle avec les paramètres choisis. Une fois l’estimation achevée, le modèle est utilisé pour prévoir les valeurs à partir des informations contenues dans le 10e sous-échantillon placé de côté. Des mesures de qualité de la prévision sont alors calculées, puis stockées (pour choisir les meilleures valeurs de paramètres à utiliser, nous utilisons la mesure Log-Loss, basée sur l’entropie, permettant d’évaluer le taux de dissimilarité entre les vraies issues de la rencontre et celles prédites). Un second des 10 sous-échantillons est mis de côté et l’estimation du modèle est de nouveau réalisée à partir des 9 sous-échantillons restants, les prévisions sont comparées avec les valeurs de ce second échantillon et les mesures d’erreur sont à nouveau stockées. Puis le troisième sous-échantillon devient la référence permettant de tester l’estimation, et ainsi de suite jusqu’à ce que chacun des 10 sous-échantillons ait servi de test. À ce moment, pour réduire les erreurs de mesures, un nouveau découpage en 10 sous-échantillons de tailles à peu près identiques est effectué, en tirant aléatoirement les observations figurant dans chaque sous-échantillon, et les estimations successives sont refaites. Au total, 10 opérations de création de 10 échantillons sont envisagées, ce qui permet de calculer 100 mesures d’erreur/précision pour des paramètres du modèle donnés.

Les paramètres aboutissant au “meilleur modèle” au regard du critère utilisé (ici, Log-Loss) seront retenus. À titre de comparaison, et pour fournir un meilleur aperçu de la qualité d’estimation, d’autres critères sont également calculés. Pour chacun des meilleurs modèles, les 100 valeurs de mesures d’erreur/précision calculées peuvent être représentées graphiquement pour comparer les modèles. C’est ce que propose la Figure 3. Les mesures affichées par des boîtes à moustaches sont les suivantes :

• Accuracy : mesure le pourcentage de bonnes classifications (bonnes issues de rencontres). Elle se calcule en comptant le nombre de bonnes classifications sur le nombre total de prévisions. Lorsqu’elle vaut 1, le modèle a bien prédit l’ensemble des classes ; lorsqu’elle vaut 0, le modèle s’est trompé sur toutes les issues des rencontres.
• Kappa de Cohen : compare la prévision à une prévision aléatoire. Cette mesure s’obtient comme suit : \(\kappa = \frac{\text{Acc} - \text{Acc}_{\text{Exp}}}{1 - \text{Acc}_{\text{Exp}}}\), où \(\text{Acc}_{\text{Exp}}\) est la précision aléatoire prévue. Cette dernière est calculée en faisant la somme des produits des distributions de chaque classe réelles et des distributions prédites ; autrement dit effectuant le calcul suivant : \(\sum_j p_j \times q_j\), avec \(p_j\) la proportion de rencontres de classe \(j\) et \(q_j\) la proportion de rencontres prédites de classe \(j\) (\(j = \{\text{Equipe 1}, \text{Nul}, \text{Equipe 2}\}\)). Plus la valeur de Kappa est élevée, meilleure la classification est, relativement à une classification aléatoire.

La valeur de la fonction Log-Loss précédemment mentionnée est également reportée sur la Figure 3. Comme le montre cette dernière, la précision des modèles est plutôt moyenne et oscille entre 52% de bonnes prévisions pour le modèle k-Nearest Neighbors à 67% pour le modèle Boosted Logistic Regression. Les valeurs du Kappa de Cohen, bien que conservant la même hiérarchie dans le classement des modèles, sont bien inférieures. Ces valeurs faibles s’expliquent par une performance particulièrement mauvaise sur les matchs nuls.

5.3 Estimations sur l’échantillon de validation

L’échantillon de validation, contenant les 20% d’observations n’ayant pas été utilisées jusqu’alors, permet aussi de comparer le comportement des modèles entre eux, en observant cette fois leurs performances respectives pour prédire plus ou moins bien l’issue des rencontres pour des matchs n’ayant pas servi à choisir les paramètres optimaux des modèles respectifs. Nous obtenons des précisions dans les classifications allant de 51.5% à 60.8% en fonction des modèles.

Le Tableau 2 indique, pour chaque modèle, les taux de bonnes prévisions pour chacune des trois classes. On y lit que les bonnes prévisions portent davantage sur les victoires de l’équipe 1 (par exemple, lorsque le vrai résultat est une victoire de l’équipe 1, le modèle Support Vector Machine l’indique dans 87% des cas). Les matchs nuls, qui représentent 21% des rencontres (à la fois dans l’échantillon de validation et dans l’échantillon utilisé pour le paramétrage des modèles) sont très mal prédits : au mieux, lorsqu’il y a effectivement match nul, le modèle k-Nearest Neighbors l’avait prédit dans 17% des cas. Ces mauvaises performances sur les matchs nuls sont courantes dans la littérature (Goddard & Asimakopoulos, 2004).

5.4 Combinaison de modèles : stacking

Une manière souvent utilisée pour améliorer la classification est de procéder à du stacking. Cela consiste à estimer un nouveau modèle, en s’appuyant sur les vraies classes de l’échantillon de test contenant les 80% d’observations et en les estimant par les prévisions obtenues par les modèles estimés précédemment. Ici, nous avons fait appel à une estimation par Gradient Boosting. Une fois ce nouveau modèle estimé, il est possible de comparer les prévisions qu’il effectue sur l’échantillon de validation, et de comparer ses performances avec les modèles précédemment estimés. Les résultats obtenus indiquent une précision dans la classification de l’issue des rencontres de 60.95%, soit légèrement plus que précédemment.

Pour ce qui est du pourcentage de bonnes prévisions pour chaque issue, la combinaison de modèles permet de prédire, lorsque c’est effectivement le cas :

• 85.8% des victoires de l’équipe 1 ;
• seulement 0.6% des matchs nuls ;
• 62.3% des victoires de l’équipe 2.

Le stacking permet donc d’améliorer les prévisions du modèle ici. Par la suite, nous emploierons le terme “combinaison” pour nous référer à ce modèle.

6.1 Prévisions des issues des rencontres de groupes

Le premier décembre 2017, le tirage au sort des huit groupes de la phase de groupes de la Coupe du Monde 2018 a été effectué à Moscou. Chaque groupe est composé de 4 équipes, donnant de facto lieu à 6 rencontres par groupes. Dans un premier temps, les prévisions des deux premiers matchs de chaque groupe sont effectuées. Les résultats prévus sont répercutés dans les données, puis les prévisions sur les deux matchs suivants sont réalisées, et enfin celles sur les deux derniers.

Comme indiqué précédemment, les modèles fournissent une probabilité pour chaque issue possible pour les rencontres (victoire équipe 1, nul, victoire équipe 2). La Figure 3 présente ces probabilités pour chaque rencontre de la phase de groupes. Le menu déroulant en haut à gauche permet de sélectionner la rencontre à afficher (l’utilisation de l’ascenseur à droite de ce menu déroulant est à préférer à la molette d’une souris). Par défaut, les probabilités affichées sont celles issues de la combinaison des prévisions de l’ensemble des modèles (la section précédente ayant montré qu’une combinaison linéaire des prédictions réalisées par l’ensemble des modèles estimés fournit un gain dans le pourcentage de bonnes prédictions) ; le menu déroulant en haut à droite de la figure permet d’afficher les résultats pour chacun des modèles.

Figure 4. Résultats de chaque rencontre de groupe, pour chaque modèle.

6.2 Prévisions des probabilités de gagner la Coupe du Monde 2018

Pour avoir une idée de la probabilité qu’une équipe donnée remporte le titre de champion du monde de football, des simulations de la compétition ont été réalisées. Les résultats de chaque rencontre sont pris en compte avant de simuler les suivantes.

Il convient de préciser comment les issues de chaque rencontre sont déterminées. Pour un match donné, le modèle fournit des probabilités de victoire ou de nul. Une manière de faire serait de retenir l’issue (victoire équipe 1, nul, victoire équipe 2) ayant la probabilité la plus élevée. Cela dit, il peut être intéressant de regarder ce qu’il se passe dans des cas moins probables. Prenons un exemple pour éclaircir ce point. La quatrième rencontre de la Coupe du Monde 2018 opposera le Portugal à l’Espagne. Notre modèle favori donne le Portugal gagnant à 37.17%, l’Espagne à 35.39% et le nul à 27.44%. Dans ce cas précis, il est particulièrement intéressant de considérer ce qu’il peut se passer pour la suite de la compétition en fonction de ces trois issues. Aussi, pour prendre en compte ces éventualités, de nombreuses simulations de la compétition sont effectuées. Dans chaque simulation, pour chaque rencontre, l’issue du match est tirée de manière aléatoire, en attribuant des probabilités d’apparition de la victoire de l’équipe 1, celle de l’équipe 2 ou du nul égales à celles prévues par le modèle. Dans le cas du match Portugal - Espagne, 37.17% des simulations effectuées donneront le Portugal vainqueur, 35.39% l’Espagne et 27.44% indiqueront que le match s’est soldé par un nul.

La manière de déterminer l’issue d’une rencontre ayant été expliquée, il reste à fournir des précisions sur la procédure adoptée pour simuler la chronologie de la compétition. Dans un premier temps, les simulations sont effectuées pour les matchs de la phase de groupes, en suivant la méthode indiquée précédemment. Il est nécessaire de désigner qui, dans chaque groupe se hisse à la première ou à la seconde place au classement ; ces positions étant importantes pour la suite de la compétition. Pour effectuer ce classement, des points sont attribués à chaque équipe à l’issue de chaque rencontre : 3 points en cas de victoire, 1 pour un nul, 0 pour une défaite. À l’issue des prévisions pour l’ensemble des matchs de groupes, le classement dans chaque groupe est effectué, en comptant le nombre de points obtenus sur les trois rencontres que chaque équipe a disputées. En cas d’égalité, le règlement de la FIFA indique que la différence de buts après tous les matchs de groupes fait foi. En cas de nouvelle égalité, le plus grand nombre de buts marqués sert alors à discriminer. S’il persiste encore une égalité, d’autres critères s’appuyant sur les nombres de buts sont utilisés. En dernier ressort, la FIFA prévoir un tirage au sort. Comme les modèles de cette étude ne prévoient pas le nombre de buts, il est impossible d’utiliser les critères normalement applicables, à l’exception du tirage au sort. Aussi, en cas d’égalité au classement pour chaque groupe, un tirage au sort est effectué pour départager les équipes.

Pour les phases suivantes de la compétition, il suffit de suivre le calendrier d’avancement proposé pour la FIFA en se faisant rencontrer en huitièmes de finale les premiers de poules à des seconds : le premier du groupe A contre le second du B, le premier du C contre le second du D, etc. Les vainqueurs poursuivent en quart de finale, puis en demi-finale et enfin en finale.

Le Tableau 3 reporte les résultats des 50 000 simulations ayant été réalisées, en indiquant le pourcentage de tirages (que l’on nomme, par raccourci “Probabilité de Victoire”) dans lesquels chaque équipe est sortie vainqueur de la compétition.

6.3 Parcours les plus probables

Grâce aux simulations, il est également possible de se pencher, pour chaque équipe, sur les chances d’être éliminé à chaque phase de la compétition. Il suffit pour cela, pour chaque équipe, de compter le nombre de simulations dans lesquelles elle se fait éliminer dans la phase de groupe, celles dans lesquelles elle sort de la compétition en huitièmes de finale, en quart, en demie ou bien remporte le tournoi. Reste alors à calculer la proportion que chacun de ces événements représente pour chaque équipe. La Figure 5 reporte ces proportions. Le choix de l’équipe s’effectue à l’aide du menu déroulant en haut à gauche de la Figure. On y lit par exemple que dans 20% de nos échantillons, l’Argentine se fait éliminer dès la phase de groupe. Dans 3,65% des cas, elle accède à la Finale et s’incline face à son opposant, tandis que dans 2,25% des simulations elle remporte la coupe.

Il peut également être intéressant de regarder comment évoluent ces chances, conditionnellement à une phase de la compétition déjà effectuée. Quelles sont les chances de l’Argentine de remporter la Coupe du Monde 2018 si elle accède aux quarts de finale ? En sélectionnant la valeur “Huitièmes de Finale” du menu de droite de la Figure 5, le diagramme nous indique la répartition de chaque issue possible, conditionnellement au fait d’avoir réussi à passer les huitièmes de finale. Si l’Argentine a réussi à passer les huitièmes de finale, nos simulations donnent la donnent vainqueur du tournoi dans 12% des cas.

Figure 5. Pourcentage de simulations dans lesquelles l’équipe choisie termine la compétition dans la phase indiquée en abscisse, conditionnellement à la phase de la compétition déjà atteinte (début du tournoi par défaut).

Si les figures précédentes permettent de savoir quelles sont les chances d’une équipe de terminer la compétition dans une phase donnée, elles ne disent en revanche rien sur les adversaires potentiels auxquels elles font face. Pour avoir cette information, il est possible de s’appuyer sur les simulations effectuées pour suivre des parcours possibles pour chaque équipe. La Figure 6 montre, sous la forme d’un arbre (réalisé à l’aide du package collapsibleTree (Khan, 2017)), l’ensemble des parcours ayant été obtenus lors des 50 000 simulations pour chacune des 5 équipes arrivées en tête. L’arbre d’une équipe est composé d’une racine (le nom de l’équipe), de feuilles (les phases de jeu et les adversaires potentiels) liées entre elles par des branches. La taille d’une feuille est proportionnelle au nombre de simulations dans lesquelles l’événement décrit par la feuille a été observé. Ce nombre est indiqué sur la seconde ligne de l’étiquette apparaissant au survol d’une feuille. Ainsi, pour l’arbre de la France (affiché par défaut, utiliser le menu au-dessus du graphique pour afficher l’arbre d’un autre pays) la racine indique que l’arbre fait référence à 50 000 simulations. Les feuilles suivantes indiquent le classement obtenu dans les simulations à l’issue de la phase de groupes : 27 526 cas dans lesquels la France a terminé première de son groupe, 12 755 dans lesquels elle s’est hissée à la seconde place, et 9 735 cas dans lesquels elle n’a pas passé les phases de groupe (7109 troisième et 2626 dernière). En cliquant sur une feuille dont la légende indique le classement à l’issue des matchs de groupe (First, Second, Third ou Fourth), la suite de la compétition s’affiche. Par exemple, en cliquant sur la feuille First pour la France, quatre adversaires potentiels apparaissent pour le huitième de finale : Argentine, Croatie, Islande et Nigeria. La taille de la feuille de la Croatie étant la plus grande, cela traduit le fait que si la France se qualifie pour les huitièmes de finale, son adversaire le plus probable serait la Croatie. En cliquant de feuille en feuille, les différentes possibilités de parcours de la France se révèlent (il est possible d’utiliser le zoom avec la molette de la souris ou du pavé tactile).

Brazil France Germany Portugal Spain

Figure 6. Arbres de rencontres simulés pour chacune des 5 premières équipes.

Une autre manière de représenter les différentes possibilités est proposée (cette fois-ci pour chacune des équipes qualifiées à la Coupe du Monde 2018), à l’aide d’un graphique “Rayons de soleil” (ou sunburst, réalisé grâce au package D3partitionR (Guillot et al., 2017)), sur la Figure 7. Après avoir sélectionné une équipe (par défaut, la France est affichée), les différentes phases de la compétition pour cette première sont affichées, sous la forme d’anneaux. Chaque anneau est fractionné proportionnellement au nombre de simulations dans lesquelles l’issue correspondante (qui s’affiche au survol de la souris) s’observe. Lorsque l’on clique sur une portion d’anneau, les portions restantes sont alors masquées pour faciliter la vue et la navigation. Pour afficher à nouveau les anneaux masqués précédemment, il suffit de cliquer sur le cercle central du graphique. À tout instant, il est possible de savoir le chemin parcouru pour aboutir à l’affichage proposé, en suivant les flèches situées en haut du graphique.

Argentina Australia Belgium Brazil Colombia Costa Rica Croatia Denmark Egypt England France Germany Iceland IR Iran Japan Korea Republic Mexico Morocco Nigeria Panama Peru Poland Portugal Russia Saudi Arabia Senegal Serbia Spain Sweden Switzerland Tunisia Uruguay

Figure 7. Séquences de rencontres simulées par équipe.

Enfin, il est possible de suivre le chemin de chaque équipe, en choisissant l’alternative suivante la plus fréquemment observée dans les simulations. Les résultats sont consignés dans le Tableau 4. On peut y lire que le Brésil gagnerait la coupe. Dans un premier temps, il se hisserait à la première position de son groupe. Puis, il affronterait le Mexique en huitième de finale, remporterait la rencontre et se retrouverait opposé à la Belgique en quart de finale. Après les avoir battus, il disputerait la demi-finale contre la France. Il remporterait ensuite la coupe du monde en vainquant la Suisse.

Il faut noter que ce raisonnement ne traduit pas nécessairement l’issue la plus probable : le parcours s’effectue petit à petit, et de nombreuses issues possibles ne sont donc pas prises en compte une fois qu’un choix a été réalisé. Prenons un exemple pour éclaircir ce point. Considérons une compétition en trois étapes : des matchs de groupe, une demi-finale et une finale. Considérons pour simplifier davantage que 100 simulations ont été effectuées et que les résultats obtenus sont tel qu’indiqué sur la Figure 8. Si l’on suit le raisonnement adopté précédemment pour décrire le chemin d’une équipe au cours de la compétition, il faudra procéder comme suit : l’équipe termine première de son groupe et accède donc à la demi-finale. Sachant cela, elle remportera son match dans 20 simulations et s’inclinera dans 15. On considèrera alors qu’elle accède à la finale, et qu’elle gagnera dans 15 simulations. Aussi, ce parcours le plus probable annoncera cette équipe comme vainqueur du tournoi. Toutefois, il ne s’agit pas de l’issue la plus probable. En effet, si on regarde bien l’arbre, cette équipe perd la compétition dans 83 cas sur 100. Sa probabilité de perdre est bien plus élevée que sa probabilité de gagner. En résumé, le chemin le plus probable n’égale pas nécessairement l’issue de la compétition la plus probable.

Figure 8. Exemple fictif d’une compétition en trois phases.

6.4 Comparaison avec les prévisions des sites de paris en ligne

La prévision du résultat des rencontres de football à l’issue de 90 minutes de jeu donne lieu à une activité économique importante sur le secteur des paris sportifs. Il semble pertinent de comparer les prévisions établies par nos modèles avec celles que l’on peut observer sur le marché. Pour réaliser un tel exercice, les cotes proposées aux internautes sur le site de paris sportifs Betclic ont été récupérées, comme indiqué dans la section 3.3. Rappelons que pour les paris sportifs, la cote d’un événement exprime l’inverse de la probabilité qu’il se réalise. Autrement dit, si un événement a une probabilité \(p\) d’apparaître, sa cote \(c\) vaut \(c = \frac{1}{p}\). On peut donc retrouver la probabilité associée à la cote d’un événement. Il ne faut toutefois pas négliger un détail important : les sites de paris en ligne conservent une part des sommes misées par les joueurs. La part restante, appelée le taux de retour aux joueurs (TRJ) est redistribuée aux joueurs réalisant des gains. Cette somme, en France, ne doit pas dépasser en moyenne les 85% (pour éviter les adictions au jeu). Aussi, pour chaque cote, si l’on désire avoir une idée de la probabilité estimée, il faut multiplier l’inverse de la cote par le TRJ. Dans notre cas, il y a trois issues : (\(i\)) la victoire de l’équipe 1, avec une probabilité associée \(p_{\text{eq1}}\) et une cote \(c_{\text{eq1}}\) ; (\(ii\)) un match nul, avec une probabilité associée \(p_{\text{nul}}\) et une cote \(c_{\text{nul}}\) ; et enfin (\(iii\)) une victoire de l’équipe 2, avec une probabilité associée \(p_{\text{eq2}}\) et une cote \(c_{\text{eq2}}\). Les cotes sont données, il est nécessaire de déduire le TRJ. Il s’obtient en effectuant le calcul suivant : \[\text{TRJ} = \frac{1}{\frac{1}{c_{\text{eq1}}} + \frac{1}{c_{\text{nul}}} + \frac{1}{c_{\text{eq2}}}}.\] Reste alors à multiplier l’inverse de la cote par ce TRJ pour obtenir la probabilité associée. Par exemple, pour la probabilité associée au match nul : \(p_{\text{nul}} = \frac{1}{c_{\text{nul}}} \times \text{TRJ}\).

Les probabilités associées à chaque issue possible pour chaque match des rencontres de groupes de la coupe du monde sont ainsi calculées. La Figure 9 propose de comparer nos estimations à celles de Betclic, pour chacun des neuf modèles (les huit modèles originaux et la combinaison de ces derniers). Les modèles sont représentés en colonne, les issues des rencontres en ligne. Sur chaque graphique, la bissectrice est tracée. Lorsqu’un point se trouve au-dessus de cette bissectrice, l’estimation que nous avons réalisée est supérieure à celles de Betclic. En revanche, quand un point se situe en dessous de cette bissectrice, notre estimation est inférieure à celle de Betclic.

Dans l’ensemble, notre modèle favori (la combinaison des huit autres) propose des estimations remarquablement proches de celles de Betclic. Les probabilités de victoires pour l’équipe 1 sont très légèrement surestimées relativement à celles de Betclic et les probabilités de victoires pour l’équipe 2 sont très légèrement sous-estimées. Les estimations des matchs nuls sont toutefois nettement sous-estimées dans notre modèle favori, relativement à celles du site de paris sportifs. Les modèles Gradient Boosting et Bagged CART sont en moyenne proches des estimations de Betclic. En revanche, le modèle Naive Bayes propose des estimations assez éloignées de celles du site de paris sportifs. En effet, les estimations de ce modèle sont tranchées : les probabilités associées à chaque issue sont soit proches de 0, soit de 1 et peu d’intermédiaires sont donnés. Aussi, la différence est visible avec les autres modèles et avec les probabilités de Betclic, qui sont davantage réparties entre 0 et 1.